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1、把一个关系模式分解成若干个关系模式的过程，称为关系模式的分解。
2、定义
关系模式R<U,F>的分解是指R为它的一组子集
ρ={R1<U1,F1>, R2<U2,F2>,…, Rk<Uk,Fk>}所代替的过程。
其中U=U1∪U2∪...∪k ,并且没有Ui≤Uj(表Ui包含于Uj，1≤i,j≤k),
Fi是F在Ui上的投影，即Fi={X→Y∈F+∧XY≤Ui}(表XY包含于Ui）。
例4.4.1：
将R=(ABCD,{A→B,B→C,B→D,C→A})分解为
关于U1=AB，U2=ACD两个关系,求R1,R2。
解：
R1=(AB,{A→B,B→A})
R2=(ACD,{A→C,C→A,A→D})
3、关系模式分解必须遵守两个准则
(1)无损联接性：信息不失真（不增减信息）。
(2)函数依赖保持性：不破坏属性间存在的依赖关系。
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1、定义
设F是关系模式R的函数依赖集
ρ={R1<U1,F1>, R2<U2,F2>,…,Rk<Uk,Fk>} 是R的一个分解，
如果R的满足F的任一个关系r均有：r=mρ(r)，
则称分解ρ具有无损联接性。
2、引理
设ρ={R1<U1,F1>, R2<U2,F2>,…，Rk<Uk,Fk>}
为关系模式R的一个分解，r为R的任一个关系，ri=πUi(r),
则：
① r≤mρ(r)(表r包含于mρ(r))
② 如果s=mρ(r) ,则πUi(s)=ri
③ mρ(mρ(r))=mρ(r)
证：
①设t为关系r的任一元组，ti=t[ui]∈ri(i=1,2,…,k),
根据自然连接的定义，t1,t2,…,ti∈ πUi(r)，即t∈mρ(r)，
所以有r≤mρ(r)(表包含于mρ(r))。
②、③的证明参看P121。
结论：分解后的关系做自然联接必包含分解前的关系，
即分解不会丢失信息，但可能增加信息，
只有r=mρ(r)时，分解才具有无损联接性。
例4.4.2：设ρ(r)，由此可得到什么结论？
解：
结论：分解不具有无损联接性。
3、为什么要进行关系分解
一个关系模式分解后，可以存放原来所不能存放的信息，
通常称为“悬挂”的元组，这是实际所需要的，正是分解的优点。
在做自然联接时，这类悬挂元组自然丢失了，
但不是信息的丢失，而是合理的。
 
 
4、检验分解无损联接性的算法
设有关系模式R(A1,A2,…,An), F为它的函数依赖集，
ρ={R1,R2,…,Rk}为R的一个分解。
算法：
(1)构造初始表：
构造一个k行n列的初始表，其中每列对应于R的一个属性，
每行用于表示分解后的一个模式组成。
如果属性Aj属于关系模式Ri, 则在表的第一i行第j列置符号aj，
否则置符号bij 。
(2)根据F中的函数依赖修改表内容：
考察F中的每个函数依赖X→Y,在属性组X所在的那些列上
寻找具有相同符号的行，如果找到这样的两行或更多的行，
则修改这些行，则使这些行上属性组Y所在的列上元素相同。
修改规则是：如果y所在的要修改的行中有一个为aj，
则这些元素均变成aj；否则改动为bmj（其中m为这些行的最小行号）。
注意：若某个bij被改动，则该列中凡是与bij相同的符号均做相同的改动。
循环地对F中的函数依赖进行逐个处理，直到发现表中有一行
变为a1,a2,…an或不能再被修改为止。
(3)判断分解是否为无损联接：
如果通过修改，发现表中有一行变为a1,a2,…an,
则分解是无损联接的，否则分解不具有无损联接性。
算法实现：
输入：关系R上的属性集U={A1,A2,…,Ak} , R上的函数依赖集F,
R的分解ρ={R1,R2,…,Rk}。
输出：如果ρ为无损分解则为真，否则为假。
Lossless(R,F,ρ)
{ 构造初始表Rρ
change=真；
while (change)
{ for (F中的每个函数依赖X→Y)
{ if(Rρ中ti1[X]=ti2[X]=…=tim[X]）
{将ti1[Y],ti2[Y]=,…,tim[Y]改为相同}
if (Rρ中有一行为a1,a2,…an）
{return 真；}
}
if (修改后的表Rρ=修改前的表Rρ ）
{chang=假；}
}
if (Rρ中有一行为a1,a2,…an）{return 真；}
else {return 假；}
}
例4.4.3：关系模式R(SAIP),F={S→A,SI→P},ρ={R1(SA),R2(SIP)}，
检验分解是否为无损联接。
  
通过修改发现表中第二行元素变为a1,a2,…,an,分解是无损联接。
例4.4.4：已知关系模式R(ABCDE)及函数依赖集F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}
验证分解ρ={R1(AD),R2(AB),R3(BE),R4(CDE),R5(AE)}是否为无损联接。
通过修改发现表中第三行元素变为a1,a2,…,an,分解是无损联接。
练习4.4.1：
已知关系模式R(U,F) ,
U={SNO,CNO,GRADE,TNAME,TAGE,OFFICE}，
F={(SNO,CNO)→GRADE,CNO→TNAME,TNAME→(TAGE,OFFICE)}，
以及R上的两个分解 ρ1={SC,CT,TO}, ρ2={SC,GTO}，
其中SC={SNO,CNO,GRADE},CT={CNO,TNAME},TO={TNAME,TAGE,OFFICE}，
GTO={GRADE,TNAME,TAGE,OFFICE}。
试检验ρ1,ρ2的无损联接性。
答案： ρ1是无损分解，ρ2不是无损分解。
5、定理4.4.1
检验分解无损联接性的算法，能够正确判定一个分解
是否具有无损联接性。(证明：参看课本P124)
6、定理4.4.2
设ρ={R1, R2}是关系模式R的一个分解，F是R的函数依赖集，
那么ρ是R（关于F）的无损分解的充分必要条件是：
(R1∩R2)→R1-R2∈F+ 或 (R1∩R2)→R2-R1∈F+
(证明：参看课本P124)
例4.4.5：关系模式R(SAIP),F={S→A,SI→P},ρ={R1(SA),R2(SIP)}
检验分解是否为无损联接？
解：R1∩R2=SA∩SIP=S R1-R2=SA-SIP=A,S→A∈F,所以ρ是无损分解。
7、定理4.4.3(逐步分解定理——关系模式可以逐步进行分解）
设F是关系模式R的函数依赖集，ρ={R1,R2,…,Rk}是R关于F的一个无损联接。
分解：
(1)若σ={S1,S2,…,Sm}是Ri关于Fi的一个无损联接分解，则
ε={R1,…,Ri-1,S1,S2,…,Sm,Ri+1,…,Rk}是R关于F的无损联接分解。
其中Fi=πRi(F)。
(2)设τ={R1,…,Rk,Rk+1,…,Rn}是R的一个分解，其中τ≥ρ（表τ包含ρ） ，
则τ也是R关于F的无损联接分解。
有关系模式R(A,B,C), ρ={R1,R2}为它的一个分解，
其中R1=AB,R2=BC,r为R的一个关系，r1=πR1(r),r2=πR2(r),
求r1，r2，m |
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1、定义
设F是关系模式R的函数依赖集，
ρ={R1<U1,F1>, R2<U2,F2>,…, Rk<Uk,Fk>}为R的一个分解，
如果Fi=πRi(F)的并集(F1∪F2∪…∪Fk)≡F（i=1,2,…,k）
则称分解ρ具有函数依赖保持性。
2、例题与练习
例4.4.6：将R=(ABCD,{A→B,B→C,B→D,C→A})分解为
关于U1=AB，U2=ACD两个关系，求R1、R2，
并检验分解的无损联接性和分解的函数依赖保持性。
解：F1=πR1(F)={A→B,B→A},
F2=πR2(F)={A→C,C→A,A→D}
R1=(AB,{A→B,B→A})
R2=(ACD,{A→C,C→A,A→D})
U1∩U2=AB∩ACD=A,
U1-U2=AB-ACD=B,A→B∈F,
所以ρ是无损分解；
F1UF2={A→B,B→A,A→C,C→A,A→D}≡{A→B,B→C,B→D,C→A}=F
所以ρ是函数依赖保持性。
例4.4.7：关系模式R(A,B,C,D) 函数依赖集F={A→B,C→D},ρ={R1(AB)，R2(CD)}
求R1,R2 ,并检验分解的无损联接性和分解的函数依赖保持性。
解：F1=πR1(F)={A→B},
F2=πR2(F)={C→D}
R1(AB,{A→B}),
R2(Cd,{C→D})
U1∩U2=AB∩CD=Φ,
U1-U2=AB,
U2-U1=CD,
Φ→AB F,
Φ→CDF,
所以ρ不是无损分解。
练习4.4.2：已知关系模式R(CITY,ST,ZIP), F={(CITY,ST)→ZIP,ZIP→CITY}
以及R上的一个分解ρ={R1, R2}, R1 ={ST,ZIP}, R2 ={CITY,ZIP}
求R1,R2 ,并检验分解的无损联接性和分解的函数依赖保持性。
答案：R1=({ST,ZIP},{Φ}) R2=(CITY,ZIP,{ZIP→CITY})
ρ是无损分解,但不具有函数依赖保持性。
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一、关系模式的分解
